I dette eksperimentet skal vi se p? et n?ytron som beveger seg i positiv x-retning med fart n?rt opptil lysets hastighet i forhold til oss som st?r i ro p? planeten. Frie n?ytroner er ustabile partikler, og har faktisk en gjennomnsittlig levealder p? bare 12 minutter! Etter dette henfaller de og blir til et proton og et elektron. M?let v?rt i dette eksperimentet er ? forst? bittelitt bedre hvordan nukle?rpartikler oppf?rer seg og bli kjent med hvordan man beskriver fart og bevegelsesmengde i romtid!
Da begynner vi med ? definere referansesystemene. Vi kaller planetreferansesystemet for?\(x\) og referansesystemet til n?ytronet for \(x'\). F?rst ser vi p? elektronet. Hvordan kan vi relatere elektronets fart i referansesystemet til n?ytronet med elektronets fart i planetreferansesystemet? Jo, det kan vi bruke Lorentz-transformasjonen til! Vi brukte denne da vi s? p? tvillingparadokset og n? kan vi bruke den kunnskapen her ogs?. Da hopper vi rett til hvordan farten i de ulike referansesystemene er relatert:
\(V'_\mu = c_{\mu \nu}V_\nu\)
Her er \(V'_\mu\) farten til elektronet i referansesystemet til n?ytronet, \(c_{\mu \nu}\) er transformasjonsmatrisa for Lorentz-transformasjon og \(V_\nu \) er farten til elektronet i referansesystemet til planeten. Dette virker kanskje som en veldig kryptisk og mystisk formel til ? begynne med, men den er faktisk ikke s? ille. For det f?rste, hva betyr de greske indeksene, \(\mu\) og \(\nu\)? Dette er bare notasjon. N?r vi bruker greske indekser, forteller det at dette er firervektorer. En firervektor er simpelthen en vektor med fire elementer, og som dermed beskriver noe i fire dimensjoner. Vi er vant med ? skrive posisjonsvektoren til en partikkel i 3 dimensjoner som
\(\vec{x}=(x,y,z)\)
Men n?r vi jobber med relativitet, og beskriver hendelser i romtid, trenger vi en fjerde dimensjon! Da kan en posisjonsvektor se slik ut i stedet:
\(\vec{x}=(t,x,y,z)\)
Hvor det f?rste elementet n? har blitt tiden, og de tre siste elementene er de romlige elementene. Denne firervektoren beskriver alts? en hendelse i romtid for et gitt referansesystem. Merk at den f?rste komponenten ikke n?dvendigvis m? v?re tid, akkurat som at det tre romlige koordinatene ikke n?dvendigvis m? v?re posisjonen! Komponentene m? imidlertid v?re fysiske st?rrelser (posisjon, fart, bevegelsesmengde osv). Mer generelt kan vi skrive at en firervektor for et referansesystem \(x\) kan v?re p? formen:
\(\vec{x}=(x_0,x_1,x_2,x_3)\)
Tilsvarende for referansesystemet \(x'\) f?r vi:
\(\vec{x}=(x'_0,x'_1,x'_2,x'_3)\)
Disse to firervektorene relateres til hverandre med transformasjonsmatrisa for Lorentz-transformasjon. N? ser vi kun p? bevegelse i x-retning. Det betyr at y- og z-komponentene ikke endrer seg. Det gir:
%20Spesiell%20relativitet/lorentz-tranzzz.jpg)
Her er \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) gitt som Lorentz-faktoren. \(v\) er den relative farten mellom de to referansesystemene. Dette var als? for generelle firer-vektorer. Hva med farts-firervektorer? Vi har alts? relasjonen:
\(V'_\mu = c_{\mu \nu}V_\nu\)
Hvor \(c_{\mu \nu}\) er transformasjonsmatrisa for Lorentz-transformasjon. Her m? vi forklare notasjonen enda litt bedre. N? f?lger vi nemlig Einsteins summekonvensjon. Den sier at vi skal summere over den indeksen, n?r to faktorer i et uttrykk har samme indeks. Vi ser her at b?de \(c_{\mu \nu}\) og \(V_\nu\) har samme indeks \(\nu\), som betyr at vi skal summere over denne indeksen. Siden vi i tillegg vet at greske indekser indikerer firervektorer, skj?nner vi at \(\nu\) m? g? over fire indekser, alts? fra 0 til 3 eller 1 til 4 litt ettersom hvordan vi definerer firervektorene v?re. Det er vanlig ? la \(\nu\) g? fra 0 til 3.
Ok, men da er det p? tide ? f? definert disse hastighets-firervektorene! Men her m? vi holde tunga rett i munn. Det er fristende ? bare ta posisjons-firervektoren \(x_\mu\), og bare dele den p? en tid, \(\frac{x_\mu}{dt}\). Dette blir imidlertid IKKE riktig!! Vi vet jo allerede godt at et tidsintervall \(dt\) er avhengig av referansesystem; den er ikke lik for alle observat?rer! Det impliserer at man ikke kan transformere \(\frac{x_\mu}{dt}\) fra et referansesystem til et annet med Lorentz-transformasjon. Vi har nemlig to viktige krav for at en vektor faktisk skal v?re en relativistisk firervektor:
(1) Komponentene i vektoren m? v?re fysiske st?rrelser (fart, tid, posisjon osv.)
(2) De fysiske st?rrelsene m? kunne transformeres fra et referansesystem til et annet via Lorentz-transformasjon.
Hva kan vi gj?re for ? finne en hastighets-firervektor da? Jo, her m? vi huske p? en viktig ting! Romtidsintervallet, \(\Delta s\) er invariant! Det betyr at det er likt for alle observat?rer; alle er enige om avstanden noen har forflyttet seg i romtid mellom to eventer. Dette impliserer videre at egentiden, \(\Delta \tau\), er invariant, for husk: \(\Delta s= \Delta \tau \). Egentiden er definert som tiden observert p? armb?ndsuret til en observat?r. Alle observat?rer er enige om tiden \(\Delta \tau\) det har g?tt mellom to hendelser p? armb?ndsuret til en observat?r. Denne invariansen gj?r at vi kan bruke \(\Delta \tau\) for ? finne hastighets-firervektoren! Her m? vi passe p? hvilken egentid vi skal bruke. Vi vil jo finne farten til noe som beveger seg, som et elektron eller et tog. Da blir egentiden \(\Delta \tau\) tiden som er m?lt i referansesystemet til legemet som beveger seg.
Vi har at posisjons-firervektoren er gitt som:
\(x_\mu = (t, x, y, z)\)
Da blir hastighets-firervektoren:
\(V_\mu = \frac{d x_\mu}{d\tau}=(\frac{dt}{d\tau},\frac{dx}{d\tau}, \frac{dy}{d\tau}, \frac{dz}{d\tau})\)
Dette kan vi skrive om litt!
\(V_\mu = \frac{dt}{d\tau}(1,\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt})\)
Og her legger vi merke til at \((\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt})=\vec{v}\) er den normale 3-dimensjonale hastigheten til legemet!
Vi ser en annen interessant ting her! Hva er egentlig faktoren \(\frac{dt}{d\tau}\)? Hvis vi ser n?ye p? den, innser vi til slutt at dette faktisk er \(\gamma\), som vi kjenner fra formelen for tidsdilatasjon, \(dt = \gamma d\tau \). Totalt f?r vi at hastighets-firervektoren blir \(V_\mu = \gamma (1, \vec{v})\).
Hvordan ser hastighes-firervektoren for elektronet ut da? Husk at vi kun har bevegelse i x-retning. Da f?r vi:
\(V_\nu(e)=\gamma_e(1, v_e)\)
Her er \(v_e\) farten til elektronet i referansesystemet til planeten og \(\gamma_e = \frac{1}{1-v^2_e}\) er Lorentz-faktoren for planetsystemet. Tilsvarende for n?ytronets referansesystem f?r vi:
\(V'_\mu(e)=\gamma'_e(1, v'_e)\)
Her er \(v'_e\) farten til elektronet i n?ytronets referansesystem. Vi pr?ver ? finne denne f?rst. Da trenger vi noen flere sammenhenger her! La oss se p? bevegelsesmengde.
Fra skolefysikken er dere kanskje vant med ? utf?re eksperimenter med kuler som kolliderer, og bruke bevaring av bevegelsesmengde til ? finne farten etter kollisjonen? Da gjorde dere faktisk feil!!! Det har nemlig blitt vist at den Newtonske bevegelsesmengden \(\vec{p}=m\vec{v}\) IKKE er bevart! Det er rett og slett vrangl?re. Heldigvis har dere ikke gjort noe fryktelig galt, for n?r farten er mye mindre enn lysfarten er det en god tiln?rming ? si at den klassiske bevegelsesmengden er bevart. I v?rt eksperiment beveger derimot n?ytronet seg med en fart oppimot lysfarten, og da m? vi bruke relativistisk bevegelsesmengde. Det er denne som er bevart!! Slik er det ogs? med energi: Newtonsk energi er ikke bevart, men relativistisk energi er bevart.
Da kan vi skrive bevegelsesmengde-firervektoren:
\(P_\mu = m V_\mu\)
\(P_\mu = m\gamma (1, v_x)\)
Hvor \(m\) er hvilemassen til legemet og vi har satt inn at \(V_\mu = \gamma(1, v_x)\). Merk at hvilemassen er lik i alle referansesystemer! Derfor blir \(P_\mu\) en firervektor; hadde hvilemassen v?rt avhengig av referansesystem hadde vi m?ttet finne en annen m?te ? definere bevegelsesmengde-firervektoren p?!!
Vi ser at rom-komponenten til \(P_\mu\) er den relativistiske bevegelsesmengden \(p_{x,\text{relativistisk}}=\gamma mv_x\). Hva s? med tidskomponenten \(P_0=m\gamma\)? Dette uttrykket kan man Taylor-utvikle med \(\gamma = f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-v_x^2}}\). Da ser man faktisk at dette leddet blir den relativistiske energien!
\(E_{\text{relativistisk}}=\gamma m \)
Dette betyr at bevegelsesmengde-firervektoren ikke bare beskriver bevegelsesmengden til et legeme, men ogs? energien! For elektronet f?r vi dermed at bevegelsesmengde-firervektoren i referansesystemet til n?ytronet blir:
\(P'(e)_\mu=m_e\gamma'_e(1,v'_e)\)
Hvor \(\gamma'_e=\frac{1}{1-(v'_e)^2}\). Her har vi alts? at den relativistiske energien til elektronet i n?ytron-systemet er \(E'(e)_{\text{relativistisk}}= m_e\gamma'_e\), og at den relativistiske bevegelsesmengden blir \(p'_{e,\text{relativistisk}}=\gamma'_e m_e v'_e\). Dette er som forventet!
Hvordan blir bevegelsesmengde-firervektoren for n?ytronet da? Vi har at n?ytronet har hvilemassen \(m_n\) og farten \(v'_n\). Men husk! Det merkede referansesystemet er referansesystemet til n?ytronet. I dette referansesystemet er jo n?ytronet i ro, og \(v'_n=0\). Da f?r vi:
\(P'_\mu (n) = m_n V'(n)_\mu\)
Hvor \(V'_\mu (n)=\gamma'_n(1,0)\)
Her er \(\gamma'_n = \frac{1}{\sqrt{1-0}}=1\). Det gir:
\(P'_\mu(n) = m_n (1,0)=(m_n, 0)\).
Vi f?r alts? at den relativistiske energien til n?ytronet bare er dets hvilemasse \(m_n\). Det gir mening, for i n?ytronets referansesystem har det ingen kinetisk energi - det er jo bare i ro! Den relativistiske energien er jo \(E'(n)_{\text{relativistisk}}=\gamma'_n m_n \), men vi s? jo at \(\gamma'_n=1\). Alts?: \(E'(n)_{\text{relativistisk}}= m_n \). Videre gir det ogs? mening at den relativistiske bevegelsesmengden til n?ytronet er null, for farten er jo bare null: \(p'_{n,\text{relativistisk}}=\gamma'_n m_n v'_n=0\).
Dette kan vi p? samme vis gj?re for bevegelsesmengde-firervektoren til protonet, og f? at \(P'_\mu (p)=m_p\gamma'_p(1,v'_p)\)
Da kan vi bruke bevaring av bevegelsesmengde-energi:
\(P'_\mu(n)=P'_\mu(p)+P'_\mu (e)\)
Etter litt regning kan man kommer frem til at
\(\gamma'_p=\frac{m^2_n+m^2_p-m^2_e}{2m_nm_p}\)
Denne best?r av st?rrelser vi allerede kjenner fra f?r, nemlig hvilemassene til hver partikkel! Da kan vi faktisk finne farten til protonet i n?ytronets referansesystem! Vi f?r da at:
\(v'_p \approx -0.00127\)
Den f?r alts? en ganske liten negativ fart i forhold til n?ytronet! Merk her!! N?r vi regner relativistisk er fart enhetsl?st. Vi setter lysfarten til 1, som betyr at alle hastigheter da ligger et sted mellom 0 og oppimot 1! I dette tilfellet ser vi dermed at protonet f?r en fart p? litt over en tusendel av lysfarten. Det negative fortegnet sier oss at protonet g?r i negativ x-retning sett fra n?ytronet i origo. Farten til protonet kan vi faktisk bruke for ? finne farten til elektronet. Dette resultatet kommer ogs? ut fra bevaring av bevegelsesmengde-energi:
\(P'_\mu(n)=P'_\mu(p)+P'_\mu (e)\)
Da f?r vi at elektronet beveger seg med en veldig stor fart i n?ytronets referansesystem:
\(v'_e \approx 0.91856 \)
Det g?r med nesten 92 prosent av lysfarten!! Fortegnet sier oss at elektronet g?r i positiv x-retning sett fra n?ytronet i origo.
Wow, s? med bare bevaring av relativistisk bevegelsesmengde og energi klarte vi ? finne farten til protonet og elektronet i referansesystemet til n?ytronet!?
Under dette eksperimentet la vi ogs? merke til noe veldig interessant. Siden n?ytronet henfaller til et proton og et elektron, ville man tenkt at \(m_n=m_p+m_e\), alts? at n?ytronmassen er summen av massen til elektronet og protonet. Slik er det i praksis ikke!!
Dette kan vi vise med formelen for \(\gamma'_p\):
\(\gamma'_p=\frac{m^2_n+m^2_p-m^2_e}{2m_nm_p}\)
Vi antar et ?yeblikk noe som ikke er sant, nemlig at \(m_n=m_p+m_e\)
\(\gamma'_p=\frac{(m_p+m_e)^2+m^2_p-m^2_e}{2(m_p+m_e)m_p}\)
\(\gamma'_p=\frac{2m^2_p+2m_pm_e}{2m_p^2+2m_pm_e}=1\)
Siden \(\gamma'_p=\frac{1}{1-(v'_p)^2}\), betyr det at protonet n? ikke f?r noen fart i referansesystemet til n?ytronet. Da beregner vi den nye farten til elektronet i n?ytron-systemet. Fra bevaring av relativistisk bevegelsesmengde har vi at:
\(p'_{n,\text{relativistisk}}=p'_{p,\text{relativistisk}}+p'_{e,\text{relativistisk}}\)
\(0=\gamma'_p v'_pm_p+\gamma'_e m_ev'_e\)
Men siden \(v'_p\) n? er lik null, m? ogs? \(v'_e\) v?re lik null! Hvis massen skal v?re bevart f?r vi alts? at n?ytronhenfallet gir to partikler som bare forblir i ro i n?ytronets referansesystem. Da er det som om henfall-prosessen ikke tar noe energi, og det gir ikke mening fysisk. For at n?ytronet skal omgj?res til et elektron og proton trengs det energi! Dette energiforbruket gj?r at protonet og elektronet m? f? en kinetisk energi for at relativistisk bevegelsesmengde skal v?re bevart. Hvor er det n?ytronet f?r energien fra? Jo, fra sin egen masse! Vi vet at energi og masse er relatert ved \(E=mc^2\), s? n?ytronet bruker litt av sin egen masse for at henfallet skal finne sted. Derfor kan ikke \(m_n=m_p+m_e\).
Da var vi ferdig med nok et eksperiment, og for en ?penbaring vi fikk p? slutten der da! N?r n?ytronet henfaller til et elektron og proton er faktisk ikke massen bevart, for det gj?r henfallet fysisk umulig! Vi m? alts? ha at \(m_n \neq m_p+m_e\)! Videre har vi blitt enda klokere p? firervektorer, som har fysiske st?rrelser som komponenter og transformeres fra ett referansesystem til et annet via Lorentz-transformasjon. Vi har avl?rt oss vrangl?ren om at Newtonsk bevegelsesmengde og energi er bevart, og i stedet skj?nt at det er de relativistiske variantene som faktisk er bevart. Da vi satt opp firervektoren for bevegelsesmengde, s? vi at tidskomponenten faktisk var den relativistiske energien til legemet, og dermed at vi hadde med en bevegelsesmengde-energi-firervektor. Med dette kunne vi sette opp bevaring av bevegelsesmengde-energi i referansesystemet til n?ytronet for ? komme frem til proton- og elektronfarten i dette referansesystemet.
Da har vi nesten fullf?rt alle eksperimentene vi hadde lyst til ? gj?re for ? l?re mer om spesiell relativitet!! N? gjenst?r det faktisk bare ett eksperiment! Dette er et av de sykeste eksperimentene vi har v?rt p?!!!
Logg inn for ? kommentere