Oppgave 2
Du har kanskje v?rt borti at energi og bevegelsesmengde bevares. I klassisk mekanikk regnes dette som noen av de mest grunnleggende lovene, rett bak Newtons lover. Mekanisk energi var bevart n?r den eneste kraften som gj?r et arbeid er tyngdekraften, og bevegelsesmengde n?r summen av ytre krefter er null. Men hva med i relativitetsteorien? I den spesielle relativitetsteorien er den relativistiske energien og bevegelsesmengden bevart. Men uttrykkene for disse er n? litt forskjellige enn fra den klassiske mekanikken. Hvis man gj?r en tiln?rming for lave farter, kan man f? uttrykkene vi er vant med fra klassisk mekanikk. Dette betyr at energien og bevegelsesmengden, slik vi er vant til ? se den, bare er tiln?rmet bevart for lave farter. En lav fart vil her v?re en som er mye mindre enn lysfarten. I den generelle relativitetsteorien viser det seg at noe som ligner veldig p? energi, blir bevart. Antar man her en lav fart og et lite tyngdefelt, f?r man uttrykket for mekanisk energi, med et lite tillegg. Dette tillegget kaller vi hvileenergien. Men er det andre st?rrelser som bevares i den generelle relativitetsteorien? Ligner de p? en kjent st?rrelse i klassisk mekanikk. Det viser seg at det er enda en bevart st?rrelse. Denne svarer til noe vi kaller spinn, ved lave farter. Vi ?nsker n? ? vise at den relativistiske varianten av st?rrelsen er bevart, ved ? bruke prinsippet om maksimal aldring. Kort sagt sier dette prinsippet at et objekt vil bevege seg langs den kurven som gir st?rst egentid for bevegelsen.?
?
En introduksjon
F?r vi setter i gang med beviset trenger du ? vite noen ting. F?rst: Hva er spinn i klassisk mekanikk? St?rrelsen spinn sier som oftest noe om bevegelsen til et objekt rundt et punkt. Denne st?rrelsen er ofte uttrykt som?
\(\quad\quad L = rmv_\phi\)
der \(r\) er avstanden fra punktet, \(m\) er massen til objektet og \(v_\phi\) er den tangsielle farten rundt punktet. Ofte er man interessert i spinn delt p? masse
\(\quad\quad \frac{L}{m} = rv_\phi\)
Vi skal her v?re mest interessert i denne siden det er denne st?rrelsen vi f?r for lave farter, fra den relativistiske bevarte st?rrelsen. Spinn er bevart n?r man bare har radielle krefter. Dersom massen er konstant vil ogs? spinn delt p? masse v?re bevart. St?rrelsen spinn delt p? masse (eller spinn) er nyttig n?r man f.eks. ser p? planetenes baner rundt sola i klassisk mekanikk. Spinn delt p? masse vil v?re bevart, hvis man ignorerer tyngdekraften fra de andre planetene. St?rrelsen er bevart siden tyngdekraften er en radiell kraft. Ser vi p? uttrykket kan det gi mening at st?rrelsen bevares i dette tilfellet. Planetene g?r i ellipsebaner. Dette betyr at avstanden deres til sola varierer. N?r avstanden er p? sitt st?rste vil planeten ha en lavere fart, enn n?r den har minst avstand. Ser vi n? p? formelen for spinn delt p? masse, som er konstant, og skriver den \(v_\phi\ = \frac{L/m}{r}\). Vi ser her at n?r avstanden ?ker, s? m? (den tangsielle) farten minke. Dette er akkurat det vi hadde for planetbanene.?
La oss ogs? g? over litt notasjon. Du har kanskje sett \(\frac{df}{dx}\) f?r. Dette er bare en annen m?te ? skrive den deriverte p?. Her kalles \(df\) og \(dx\) for infinitesimaler. Denne skrivem?ten kommer fra definisjonen av den deriverte:
\(\quad\quad \frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
Vi ser der at br?ken \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\) ligner veldig p? notasjonen over. N?r man tar grenseverdien av den blir \(\Delta f\) og \(\Delta x\) uendelig sm?. I \(\frac{df}{dx}\) tenker vi p? \(df\) og \(dx\) som uendelig sm?, slik at \(\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{df}{dx}\). Har vi n? en funksjon \(u(x)\) kan vi skrive kjerneregelen som?
\(\quad\quad \frac{df}{dx} = \frac{df}{du}\frac{du}{dx}\)
der \(\frac{df}{du}\) er den deriverte av \(f\) med hensyn p? \(u\). Dette tilsvarer bare ? gange og dele p? \(du\), som gj?r kjerneregelen enklere ? bruke. Denne notasjonen vil v?re nyttig ? bruke, hvis du pr?ver ? gjennomf?re utledning vi skal beskrive. Merk videre at den tangesielle farten (i formelen for spinn) kan skrives \(v_\phi = r\frac{d\phi}{dt}\), der \(\frac{d\phi}{dt}\) er vinkelfarten.
Vi m? ogs? se p? tidromsavstanden i Schwarzschildgeometrien, som du kan lese mer om her. Vi skal n? inkludere det siste leddet, som gir?
\(\quad\quad \Delta s^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right) \Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{1 - \frac{2M}{r}} - r^2\Delta \phi^2\).
Her er \(\Delta \phi\) en liten vinkel endring i vinkelen til et objekt sett fra langt vekk observat?ren, n?r vi utrykker posisjonen i ploarkoordinater \((r, \phi)\). Hvis du ikke vet hva polarkoordinater er, kan dette v?re lurt ? lese seg opp p?, for eksempel her.?
?
Situasjonen
For ? komme frem til ?bevaringsloven vi er ute etter, skal vi se p? en partikkel som beveger seg i tyngdefeltet til en kuleformet masse. Husk at det er for kuleformede masser at Schwarzschildgeometrien er gyldig. Vi ?nsker ? finne den kurven partikkelen f?lger, eller rettere sagt, en bevart st?rrelse som beskriver den kurven. Vi kan dele den totale bevegelsen inn i sm? intervaller som har et startevent og et sluttevent. La oss velge tre slike til ? begynne med, og s? skal vi argumentere for at vi f?r samme resultat om vi velger andre intervaller. Vi skal dermed se p? tre eventer, 1, 2 og 3, og kurven partikkelen f?lger mellom disse, se Figur 1.?
Men hvordan kan kurven variere? Dersom vi har bevegelse i radiell retning viser det seg at man kan vise det som tilsvarer bevaring av energi. Det viser seg at n?r man ser p? bevegelsen i den tangensielle retningen kommer man frem til resultatet vi ?nsker. Men hva vil dette si? Vi skal la avstandene til sentrum av massen og tidene partikkelen er i eventene v?re fikserte, i tillegg til vinkelen i event 1 og 3. Dermed er den eneste koordinaten som kan variere vinkelen i event 2. Det vil si at event 1 og 3 er to generelle eventer som partikkelen er innom p? kurven sin, men som vi ikke egentlig trenger ? vite noe om. Event 2 er i en gitt avstand fra sentrum og i en gitt tid, men vinkelen dens lar vi v?re ukjent. Dette gj?r vi for ? kunne bruke prinsippet om maksimal aldring. Med dette prinsippet kan vi vise at kurven partikkelen vil f?lge, er den som gir en spesifikk vinkel i event 2. Med bruk av denne vinkelen kan vi utrykke bevaringsloven vi er ute etter.?
I tidromsavstanden mellom event 1 og 2 skal vi bruke avstanden indeksert A i Figur 1, som er gjennomsnittet av avstanden i event 1 og 2. Tilsvarende skal vi bruke avstanden indeksert B i Figur 1, mellom event 2 og 3. Dette gj?r vi siden intervallene i tidromsavstanden skal v?re sv?rt sm? (uendelig sm?), og de er dermed ment ? bruke èn verdi for avstanden. I et lite intervall (som vi senere skal la g? mot null) vil avstanden tiln?rmet v?re konstant, og vi kan da velge den vi ?nsker innenfor intervallet. Dette er gitt at vi ikke velger avstanden i event 2 for begge intervallene, siden det vil tilsvare at gjenstanden ikke beveger seg i radiell retning, noe vi ikke skal anta.
?
Metode
Siden vi skal bruke prinsippet om maksimal aldring, tar vi en titt p? det. Som nevnt sier prinsippet at partikkelen v?r vil f?lge den kurven som gir st?rst egentid for bevegelsen. Du kan lese mer om prinsippet her. For de tre eventene vi tar for oss, sier prinsippet da at egentiden mellom event 1 og 3 skal v?re st?rst mulig. Vi ?nsker dermed ? finne den vinkelen til event 2 som gir den st?rste egentiden. For ? gj?re dette skal vi derivere egentiden med hensyn p? vinkelen i event 2, og sette lik 0. Husk at maksimum (toppunkt) finner man der den deriverte er null. Men hva er egentiden. Egentiden er jo tiden mellom to eventer i det referansesystemet der de eventene skjer p? samme sted. Det viser seg faktisk at egentiden er lik tidromsavstanden. Dette kan vi tenke p? som at partikkelen bruker lokal Lorentzgeometri p? seg selv. Siden de to eventene som definerer intervallet skjer p? samme sted her, blir tidromsavstanden mellom eventene i partikkelens referansesystem lik egentiden, n?r man setter opp formelen for Lorentzgeometrien. Siden vi skal finne den vinkelen som maksimerer egentiden, m? den avhenge vinkelen. Dermed m? vi finne egentiden mellom event 1 og 2, og egentiden mellom 2 og 3, og addere disse. Dette kommer av at tidromsavstanden mellom event 1 og 3 ikke vil inneholde vinkelen til event 2, med mindre du bruker summen av de to tidromsavstandene for event 1 til 2, og event 2 til 3. Summen av dem vil v?re lik den totale egentiden mellom event 1 og 3. Vi finne utrykket for de to egentidene (1 til 2 og 2 til 3) ved ? sette dem lik den tilh?rende tidromsavstanden til langt vekk observat?ren med Schwarzschildgeometrien. Dette kan vi gj?re siden tidromsavstanden er invariant, slik at tidromsavstanden til partikkelen mellom f.eks. event 1 og 2, er lik tidromsavstanden til langt vekk observat?ren.?
N?r vi har funnet egentiden til partikkelen mellom event 1 og 3 (summen av den fra 1 til 2 og den fra 2 til 3) uttrykt ved Schwarzschildavstanden deriverer vi med hensyn p? vinkelen i event 2. Dette gj?r vi for ? finne et maksimum. Dermed setter vi den deriverte lik 0 og omrokerer p? ligningen s? den har akkurat den formen vi ?nsker. Dette vil spesifikt v?re ? separere leddet som har med intervallet mellom event 1 og 2 ? gj?re, og leddet for intervallet mellom event 2 og 3 ? gj?re, p? hver sin side av likhetstegnet. Vi har n? en likhet som forteller oss at samme uttrykk m? v?re likt i b?de det f?rste og andre intervallet. Denne st?rrelsen m? dermed v?re bevart mellom disse to intervallene. Dersom vi hadde lagd enda ett event, 4, og gjort utregningen for 2, 3 og 4, hadde vi f?tt samme uttrykk, men at alle indeksene hadde ?kt med en. Indeksen A p? avstanden har blitt til B og indeksen B har blitt til C. Avstanden indeksert C er n? gjennomsnittet av avstandene i event 3 og event 4. Siden vi f?r den samme likheten for intervallene 2 til 3 og 3 til 4, men at uttrykket for 2 til 3 ogs? var lik det tilsvarende uttrykket for 1 til 2 (fra den originale utregningen) vil vi ha en "likhetsrekke" for 1 til 2, 2 til 3 og 3 til 4. Denne st?rrelsen i utrykket er alts? bevart mellom disse tre intervallene pga. likheten. Tar vi n? for oss et femte event, 5, og argumenterer likt for dette, gjelder likheten ogs? for intervallet 4 til 5, og st?rrelsen blir ogs? bevart til dette intervallet. Slik kan vi fortsette ? argumentere for at det neste intervallet i bevegelsen, ogs? m? v?re i likhetsrekken. Da gjelder likheten for bevegelsen til partikkelen generelt, siden den m? gjelde for ethvert intervall i bevegelsen til partikkelen.
Vi nevnte over at tidromsavstanden i Schwartzschildgeometrien egentlig skal v?re uendelig sm?, mens vi forel?pig har regnet med vanlige intervaller (som ikke er uendelig sm?). Vi m? dermed ta grenseverdien av dette utrykket som bevares der egentiden g?r mot null, og dermed ogs? de andre intervallene/avstandene i utrykket. Vi ser at da f?r vi en derivert i uttrykket. Vi f?r spesifikt at avstanden i andre ganger den deriverte av vinkelen med hensyn p? egentiden er bevart.?
Vi ?nsker n? ? skrive dette p? en form som ligner mer p? formelen for spinn delt p? masse. Forskjellen er at n? kommer det en Lorentzfaktor inn. Vi skriver om den deriverte med kjerneregelen, til den deriverte av vinkelen med hensyn p? tiden til en skallobservat?r ganger den deriverte av tiden til en skallobservat?r med hensyn p? egentiden. Les om skallobservat?rer her. Den sistnevnte deriverte er lik Lorentzfaktoren for en skallobservat?r. Dette kan vi finne ut ved ? sette opp formelen for tidsdilatasjon for en skallobservat?r og derivere med hensyn p? egentiden. Siden formelen for tidsdilatasjon er utledet i Lorentzgeometri, m? vi argumentere for at skallobservat?ren har lokal Lorentzgeometri (les mer om dette her) for eventene, la oss si 1, 2 og 3. Siden de er uendelig sm?, er tids- og romavstandene sm? nok. En skallobservat?r vil i tillegg v?re i n?rheten av eventene (vi bare plasserer den ved dem). Dermed kan vi bruke lokal Lorentzgeometri og sette opp formelen for tidsdilatasjon. Utrykket vi fant med kjerneregelen er n? en derivert ganget med Lorentzfaktoren for en skallobservat?r. Setter vi n? dette inn for den deriverte av vinkelen med hensyn p? egentiden i det bevarte uttrykket, f?r vi utrykket vi lette etter. Vi m? bare passe p? ? gange en av avstandene med den deriverte av vinkelen med hensyn p? skall-tiden, slik at dette blir den tangensielle farten en skallobservat?r observerer.?
Uttrykket vi har n? minner veldig om spinn delt p? masse i klassisk mekanikk. Vi ?nsker n? ? se p? tilfellet der vi har sm? hastigheter, og tiln?rme uttrykket v?rt ved ? sette Lorentzfaktoren lik 1. Vi ser at da f?r vi uttrykket vi er kjenner som spinn delt p? masse i klassisk mekanikk. Men hvorfor kan vi sette Lorentzfaktoren lik 1? Den enkleste m?ten ? tenke p? dette p?, er at ved lav fart blir leddet med farten i under rottegnet i Lorentzfaktoren enda mindre (vi har farten i annen). Dermed er roten tiln?rmet lik 1, og dermed blir hele br?ken, alts? selve faktoren, tiln?rmet lik 1. Vi kan ogs? vise dette mer matematisk ved bruk av en Taylorrekke. Du kan lese litt om Taylorrekker her. Som vi diskuterte i den posten, s? er en Taylorrekke av f?rste orden bare tangenten til funksjonen. Finner vi dermed tangenten (Taylorrekken) til Lorentzfaktoren, som funksjon av farten, i punktet der farten er null, vil dette v?re en god tiln?rming for faktoren ved fart mye mindre enn 1. Husk n? at lysfarten er satt lik 1, slik at en fart mye mindre enn 1 (tiln?rmet lik 0) ikke n?dvendigvis er en veldig lav fart. N?r vi finner tangenten ser vi at funksjonsverdien i 0 er 1, og at den deriverte i 0 er 0. Dermed f?r tangenten kun et konstantledd lik 1, og det er en god tiln?rming ? sette inn 1 for Lorentzfaktoren i uttrykket v?rt. Da ser vi at det tiln?rmede uttrykket er likt spinn delt p? masse. Vi har dermed vist at spinn delt p? masse er (tiln?rmet) bevart ved lav fart. N?r farten blir st?rre, vil den bevarte st?rrelsen fortsatt ligne p? spinn delt p? masse, men at den er bare skalert. Vi ser at n?r farten ?ker, vil ogs? Lorentzfaktoren ?ke, slik at en bevarte st?rrelsen vil bli st?rre og st?rre, relativt til spinn delt p? masse, for st?rre og st?rre fart.
?
Konklusjon
Vi har n? funnet en bevart st?rrelse i tyngdefeltet til en kuleformet masse. bevaringsloven fant vi ved ? definere tre eventer der det "midterste" av dem hadde en fri vinkel. Vi lot denne vinkelen v?re fri, slik at vi kunne derivere med hensyn p? denne for ? finne et "krav" som maksimerer egentiden. Dette kravet var at st?rrelsen vi fant, var lik for de to intrevallene (og dermed bevart). Vi ?nsket ? maksimere egentiden, for ? bruke prinsippet om maksimal aldring, som sier at en partikkel vil f?lge den banen der aldringen (egentiden) maksimeres. Vi satt alts? opp et uttrykk for egentiden, som summen av egentiden mellom event 1 og 2, og egentiden mellom 2 og 3. Egentidene fant vi vet ? sette dem lik tidromsavstanden for langt vekk observat?ren. Vi deriverte s?, og fant et utrykk som m?tte v?re lik for begge de to delene (intervallene) i bevegelsen mellom event 1 og 3. Vi argumenterte s? for hvordan dette kan videref?res til flere eventer, og at det derfor m? gjelde all bevegelse for partikkelen. Vi tok grensen der egentiden (og de andre tids- og romavstandene) g?r mot null, og fikk den deriverte av vinkelen i med hensyn p? egentiden i uttrykket. Vi skrev den deretter, med kjerneregelen, p? en form som lignet mer p? spinn delt p? masse. Og s? viste vi at med Lorentzfaktoren tiln?rmet lik 1, ble uttrykket v?rt det for spinn delt p? masse, ved lav fart. Spinn delt p? masse er dermed tiln?rmet bevart i relativitetsteorien.
De prinsippene vi finner i den klassiske mekanikken forholder seg stort sett slik. St?rrelser fra den klassiske mekanikken viser seg ? v?re tiln?rmet bevart ved lav fart i relativitetsteorien. Dermed blir den klassiske mekanikken, som ikke er helt riktig, en god tiln?rming p? verden rundt oss. De fleste situasjoner vi har med ? gj?re har jo lave nok hastigheter til at tiln?rmingen er god.?