Oppgave 3
Har du noen gang lurt p? hvordan det er ? falle mot et svart hull? N? skal vi se litt p? hvordan dette er, og hvordan det er for noen som observerer fallet. Vi skal bruke bevaring av relativistisk energi til ? se hvordan fallet vil utvikle seg fra de to perspektivene (det fallende, og observat?ren). Vi skal spesielt s? p? hvordan lyssignaler som de to systemene sender ut, utvikler seg, og hva dette kan fortelle oss avstanden det fallende romskipet har, sett fra de to referansesystemene.
?
Situasjonen
Vi skal se p? en situasjon der vi har en planet som g?r i bane rundt et svart hull, i en avstand 1 AU til det svarte hullet. I en romstasjon p? denne planeten har vi en observat?r. Romstasjonen beveger seg ikke relativt til planeten. Videre har vi et romskip som faller radielt inn mot det sorte hullet. Idet romskipet passerer romstasjonen har den en fart? \(v\).Romskipet og romstasjonen sender ut lyssignaler. Romskipet sine signaler er bl? og har samme tidsintervall mellom, sett fra sitt referansesystem, mens romstasjonen sine er r?de og har samme tidsintervall mellom, sett fra sitt system. Det sorte hullets masse er \(M = 1.27079 \cdot 10^7 M_\odot\). Romskipets fart ved romstasjonen er \(v = 0.277c\). I planetsystemet sendes romstasjonens lyssignaler hvert \(53.1094\) sekunder. I det fallende romskipets system sender romskipet ut et lyssignal hvert \(28.4404\) sekund. I Tabell 1 ser du tiden mellom de to f?rste og de to siste lysignalene som hver av observat?rene (den i romskipet og den i romstasjonen) f?r.?
| System | Tid mellom de to f?rste | Tid mellom de to siste |
|---|---|---|
| Romstasjon (planet) | \(30.02\) s | \(280.2\) s |
| Romskip | \(50.70\) s | \(1.001\) s |
Vi skal f?rst anta at lysfarten er uendelig, slik at lyssignalene n?r frem umiddelbart. Dette vil fortelle oss hvordan avstanden til det sorte hullet, og tiden, i de to systemene utvikler seg. Etter det skal vi se p? hvordan lysfarten p?virker situasjonen, og dermed finner ut hva observat?rene vil "se".
?
Metode
F?rst er det nyttig ? beskrive de to referansesystemene introdusert ovenfor med litt mer kjente begreper. Da kan vi nemlig bruke det vi vet om observat?rrollene til ? regne p? situasjonen. F?rst ser vi at romstasjonen (planeten) har en avstand til det sorte hullet p? 1 AU. Dermed vil dette v?re en skallobservat?r med avstanden \(r = 1\) AU. Videre har vi romskipet som faller mot det sorte hullet. Dette er det vi kan kalle en fritt fallende observat?r. Likt som en skallobservat?r er denne observat?ren i tyngdefeltet, men den faller mot det sorte hullet.?
Energien til et objekt i et tyngdefelt (fra en kuleformet masse), m?lt av en langt evkk observat?r, er gitt ved?
\(\quad\quad \frac{E}{m} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac{dt}{d\tau}\)
der \(M\) er massen til objektet, \(r\) er objektets avstand fra sentrum av massen m?lt av en langt vekk observat?r, \(t\) er tiden observert av en langt vekk observat?r, og \(\tau\) er egentiden til det fallende objektet. Energien er definert slik siden dette er en st?rrelse som bevares, og den ligner p? energien i klassisk mekanikk ved lav fart og svakt tyngdefelt. Man kan vise at den ligner ved ? tiln?rme den ved ? bruke taylorrekker. Tidligere har vi vist det tilsvarende resultatet for noe som kalles spinn, som du kan lese om her. I situasjonen v?r har vi ikke en langt vekk observat?r, slik at vi heller vi uttrykke energien med en skallobservat?r sin tid. Her viste vi sammenhengen mellom tiden til en skallobservat?r og langt vekk observat?r. Den ser slik ut:
\(\quad\quad dt = \frac{dt_{\text{skall}}}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} \)
der \(dt_{\text{skall}}\) er en infinitesimal tid for en skallobservat?r, og \(dt\) er en infinitesimal tid gitt av en langt vekk observat?r. Merk at \(r\) er skallobservat?rens avstand fra det sorte hullets sentrum, m?lt av en langt vekk observat?r. At tiden er infinitesimal betyr bare at det er et tidsintervall som er uendelig lite. Man kan tenke p? \(dt\) som at man tar grenseverdien \(\lim_{\Delta t \to 0} \Delta t\). Vi tenker ikke da p? \(dt\) som tallet null (siden grensen g?r mot null), men som det ? ta grenseverdien av \(\Delta t\) som blir uendelig liten i grensen. Du har nok v?rt borti slike variabelskifter i integralregning, n?r man bytter variabel fra \(x\) til \(u\) og da m? skifte variabel der \(du = u'(x) dx\). Du kan lese mer om infinitesimaler her. Grunnen til at vi bruker slike infinitesimaler, er at avstandene i Schwarzschildgeometriens romstidsavstand er uendelig sm?, alts? infinitesimaler. Setter vi sammenhengen mellom de to tidsvariablene inn i energiformelen f?r vi?
\(\quad\quad \frac{E}{m} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r}} \frac{dt_{\text{skall}}}{d\tau}\)
som energien sett fra en skallobservat?r. Siden \(r\) i energiformelen var rakettens avstand fra sentrum, mens den i variabelskiftet var skallobservat?rens avstand fra sentrum, gjelder denne formelen kun for en skallobservat?r som har samme avstand til sentrum som raketten. N?r raketten beveger seg n?rmere det sorte hullet, m? vi derfor bytte skallobservat?r til en som er litt n?rmere det sorte hullet. Spesifikt en som er like langt unna som raketten. \(r\) er derfor rakettens avstand (og den tilh?rende skallobservat?rens avstand) til sentrum av det sorte hullet. \(dt_{\text{skall}}\) er et (uendelig lite) tidsintervall en skallobservat?r vil m?le. \(d\tau\) er et (uendelig lite) tidsintervall av egentiden til raketten, og er dermed det (uendelig lille) tidsintervallet en observat?r i raketten vil m?le.?
Siden skallobservat?ren i formelen over er p? samme sted som raketten kan vi bruke lokal Lorentzgeometri p? denne skallobservat?ren. Vi kan dermed sette inn, ved bruk av tidsdilatasjonsformelen fra spesiell relativitetsteori, \(\gamma_{\text{skall}}\) for \(dt_{\text{skall}}/d\tau\). Vi f?r da?
\(\quad\quad \frac{E}{m} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r}} \gamma_{\text{skall}}\)
der \(\gamma_{\text{skall}} = 1/\sqrt{1 - v_{\text{skall}}^2}\). Her er \(v_{\text{skall}}\) farten som skallobservat?ren m?ler at raketten har. Merk at siden skallobservat?ren vi bruker i formelen er p? samme sted som raketten, vil ikke denne formelen gjelde for observat?ren p? romstasjonen, annet enn i akkurat det tilfellet der romskipet passerer romstasjonen.?
La oss starte med ? finne energien til raketten som er bevart. Vi vet at uttrykkene over gjelder for romstasjonen som skallobservat?r idet romskipet er 1 AU unna det sorte hullet. Setter vi inn verdiene vi har f?r vi da at energien er \(\frac{E}{m}=0.9008\). Videre kan vi l?se energiuttrykket for en langt vekk observat?r for den infinitesimale egentiden til romskipet. Integrerer vi p? begge sider av den l?ste ligningen, finner vi et tidsintervall i egentiden. Antar vi at avstanden til det sorte hullet er (tiln?rmet) konstant i l?pet av denne egentiden, kan vi enkelt l?se integralet p? den andre siden av likhetstegnet. og f? et tidsintervall gitt av langt vekk observat?ren. Bruker vi n? forholdet mellom langt vekk tid og skall-tid, der planeten n? er skallobservat?ren, presentert ovenfor, finner vi relasjonen mellom egentiden og skalltiden. Husk at n? er avstanden til det sorte hullet fra raketten ikke den samme som avstanden planeten har til det sorte hullet.?
Vi kan n? l?se uttrykket vi har f?tt, for (den tiln?rmet konstante) avstanden til det sorte hullet. Vi kan bruke dette til ? regne avstanden raketten har til det sorte hullet sett fra de to referansesystemene, i perioden mellom de to f?rste lysignalene, og mellom de to siste, ved ? bruke tallene i Tabell 1. Da f?r vi at romskipet ved f?rste m?ling, sett fra romskipet, hadde en avstand 0.9811 AU som stemmer bra overens med at den skal starte ved planeten, som jo var 1 AU unna det sorte hullet. Hvis vi sammenligner med hva planetobservat?ren m?ler, som er 0.9597 AU, som er litt forskjellig fra det m?lt av raketten, men mye av forskjellen her kommer nok av at intervallene de sender ut signaler med er forskjellig, s? man finner posisjonen ved litt ulike tider, selv etter man tar hensyn til relativitet. Noe av forskjellen kommer av at lengden er forskjellig pga. tidrommets krumning.
Like f?r raketten treffer hendelseshorisonten m?ler raketten en avstand p? 0.2546 AU som tilsvarer 1.0149 ganger hendelseshorisonten alts? like f?r den g?r under. M?lt fra planeten var avstanden 0.2724 AU som tilsvarer 1.0859 ganger hendelseshorisonten.
Vi ser at det ikke er s? stor forskjell i den m?lte avstanden, men effektene er mye st?rre p? tiden. Dette kan du se i Tabell 1. Sett fra planeten vil man se at tiden mellom lyssignalene fra raketten blir st?rre og st?rre. Raketten vil observere motsatt effekt. Dette vil ogs? f?re til at signalene planeten observerer blir r?dskiftet, siden intervallene mellom signalene blir lengre, blir ogs? intervallet mellom b?lgetoppene i lyset bli lengre. Dette tilsvarer lavere frekvens, alts? st?rre b?lgelengde, s? synlig lys vil se mer r?dt ut for signalene romstasjonen mottar. Vi kan se den tilsvarende motsatte effekten i signalene raketten mottar, hvor vi ser at intervallet mellom b?lgetoppene blir kortere og at lyset blir bl?ere. Denne effekten vil bare bli sterkere og sterkere ettersom raketten n?rmer seg hendelseshorisonten. Til slutt divergerer uttrykket, slik at selv et lite tidsintervall for raketten, vil tilsvare uendelig mye tid sett fra planeten. S? raketten vil se at universet utenfor suser forbi, og intervallet mellom signalene blir borte, og alt lyset blir bl?skiftet til gammastr?ling. All tid skjer i ?yeblikket man passerer hendelseshorisonten.
?
Lysfart
Vi har i de tidligere utregningene sett bortt ifra lysfarten, vi har antatt at signalene n?r den andre observat?ren instantant. Vi har alts? tiln?rmet lysfarten til ? v?re uendelig stor. Vi skal n? vurdere hvilke effekter det hadde p? tallene v?re.
Hvis vi hadde hatt en konstant lysfart ville dette ha p?virket lengden p? intervallene v?re til en viss grad, de ville blitt noe lengre ettersom det tar tid for lyset ? bevege seg fra der det andre signalet ble sendt ut, til der det f?rste signalet ble sendt ut. Denne effekten vil bli st?rre ettersom raketten raketten n?rmer seg det sorte hullet, og farten den blir st?rre. Det viser seg riktignok at lysfarten ikke er konstant, det kan nemlig vises at at den radielle farten til lys rundt et sort hull, sett fra en langt-vekkobservat?r, er gitt ved: \(\frac{dr}{dt}= 1-\frac{2M}{r_\gamma} \) hvor \( r_\gamma \) er den radielle avstanden til fotonet dette blir for en skallobservat?r \( \frac{dr_{sh}}{dt_{sh}}=\frac{dr}{dt}\frac{1}{1-\frac{2M}{r_{sh}}} \) at ?\( \frac{dr_{sh}}{dt_{sh}} = \frac{1-\frac{2M}{r_\gamma}}{1-\frac{2M}{r_{sh}}} \)
Fra denne formelen kan vi se at, sett fra planeten vil lysfarten ?ker ettersom lyset beveger seg ut fra det sorte hullet, som vil videre forsterke effekten av at st?rrelsene p? intervallene ?ker. For ettersom raketten kommer n?rmere det sorte hullet vil lyset starte i et omr?de med lavere og lavere fart. Sett fra raketten vil lysfarten minke ettersom lyset faller mot det sorte hullet, som ogs? vil forsterke ?kningen av st?rrelsen p? intervallene ettersom lyset ogs? her er i et omr?de med lavere lysfart. Riktignok er ikke raketten en skallobservat?r, men for korte tidsintervaller er det greit ? tiln?rme den til en.?
N?r vi skjekker de faktiske m?lingene f?r vi at intervallet mellom signal 28 og 29 er p? \(1034.05s- 964s=70.05s \), mens n?r vi tar med lysfarten f?r vi at det blir \( 1617.79-1484.36s=133.43s \) s? vi ser at hypotesen v?r stemte.
Mer oversiktlig kan vi plotte avviket med og uten lysfart som funksjon av signalnummeret:
Vi ser som forventet at forskjellen ?ker ettersom raketten n?rmer seg det sorte hullet, men vi ser ogs? at intervallene er jevnt over h?yere, noe som er ? forvente, p? grunn av tiden det tar lyset ? reise fra rakettens posisjon ved det ene signalet til det andre.
Vi kan fra analysen v?r forvente ? se den samme effekten for signalene som sendes fra planeten til raketten, men effekten vil bli delvis, om ikke helt, motvirket av at intervallet synker p? grunn av tidsdilatasjon.
La oss plotte det:
I blide 2 ser vi noe veldig interessant, den ?kene effekten fra lysfarten er sterkere enn den minkene effekten fra tidsdilatasjon, dermed er det ? se bort ifra lysfarten i dette tilfellet en sv?rt d?rlig tiln?rming, siden vi f?r motsatt effekt, med og uten tiln?rmingen.
Utregningene i dette eksempelet er ikke helt n?yaktige, vi har gjort noen ganske grove tiln?rminger, men det illustrerer noen av de mange rare effektene som skjer i n?rheten av et sort hull.?
Vi har vist at sett utenifra vil tiden stanse like ved et sort hull, s?pass at sel lys st?r stille, mens hvis du selv faller inn i et sort hull vil derimot oppleve at alt annet beveger seg uendelig fort, men det du vil se er at ting g?r saktere, siden lyset ikke n?r deg fort nok.
Vi har ogs? vist at lys i prinsippet kan g? i bane, men som oftes enten blir slynget ut igjen eller blir slukt av det sorte hullet.