N? skal vi faktisk skyte opp raketten, men f?rst vil vi simulere hvordan raketten vil bevege seg n?r vi f?rst kommer oss ut i rommet (dette er den siste simulasjonen vi skal gj?re, jeg lover).
Bevegelser i verdensrommet er veldig store, og vi kommer ikke til ? klare ? simulere dem helt riktig, men for ? f? en simulasjon som er s? n?rme virkeligheten som mulig, ?nsker vi ? v?re enda mer n?yaktige enn n?r vi simulerte planetbaner tidligere. Vi ?nsker da ? bruke et kortere tidssteg \(\Delta t\), enn det vi har gjort for planetbanene, som introduserer et problem. Vi m? vite hvor planetene er for en gitt tid, men planetbanene er ikke n?yaktige nok til dette! Derfor vil vi interpolere mellom planet-posisjonene vi har beregnet for ? finne ut ca hvor de er til en hver tid.
Vi skriver en line?r interpolasjonsalgoritme, og tester den p? inputs vi allerede kjenner korresponderende output til:
| Startverdi | Sluttverdi | Interpolasjonstall | Forventet output | Output |
| (0,0) | (1,0) | 0.4 | (0.4,0) | (0.4,0) |
| (2,0) | (3,0) | 0.4 | (2.4,0) | (2.4,0) |
| (2,5) | (3,4) | 0.7 | (2.7,4.3) | (2.7,4.3) |
| (2313.023,5283.382) | (1000.2,1392.2321) | 0.5 | (1656.6115, 3337.80705) | (1656.6115, 3337.80705) |
Interpolasjonstallet er her hvor langt i mellom de to gitte posisjonene vi ?nsker ? se p?, og er alltid et tall mellom 0 og 1.
S? langt har vi akkurat samme tall som vi forventet. Vi kan ogs? se om outputvektorene peker til riktig sted mellom start og slutt, ved ? finne \(\left|\frac{\vec{Output} - \vec{Start}}{|\vec{Slutt} - \vec{Start}|}\right|\). I alle tilfeller burde dette bli lik interpolasjonstallet (se fig 1). Vi gj?r dette for de samme tallene som over:
| Startverdi | Sluttverdi | Interpolasjonstall | Andel av Slutt - Start |
| (0,0) | (1,0) | 0.4 | 0.4 |
| (2,0) | (3,0) | 0.4 | 0.4 |
| (2,5) | (3,4) | 0.7 | 0.7 |
| (2313.023,5283.382) | (1000.2,1392.2321) | 0.5 | 0.5 |
Igjen er tallene helt like! Vi kan da si oss oss ganske sikre p? at interpolasjonsmetoden v?r fungerer. Vi kan n? se p? posisjoner mellom de lagrede planetposisjonene!
Vi vil n? simulere rakettens bevegelse i rommet. Vi har tidligere beregnet hvordan raketten vil forlate planeten, s? vi vet hvor i solsystemet vi vil ende opp p? slutten av oppskytningen, samt hvilken hastighet vi har. Vi vil simulere bevegelsen p? akkurat samme m?te som vi tidligere har simulert planet-bevegelser, hvor vi oppdaterer akselerasjonen (Dette kommer alts? fra gravitasjonskreftene som virker p? raketten fra planetene og sola), og s? oppdaterer hastighet og posisjon hvert tidssteg.
Vi kj?rer simulasjonen med oppskytningstid \(t_0 = 2.2 Y\), og f?r f?lgende:
Vi ser her at raketten kommer seg unna planeten v?r, som er forventet. Vi har tross alt allerede n?dd unnslippningshastighet! Her har vi plottet sammen med banen til planet 2, som er dit vi ?nsker ? n?, og her ser det ut som at vi kommer til ? kunne falle inn i bane sammen med den!
Dessverre er det ikke s? enkelt. Raketten blir fanget av solens gravitasjonskraft, og begynner ? g? i bane rundt solen.
At raketten ender opp med ? g? rundt solen, er ingen stor overraskelse. I en liten periode etter oppskytningen vil raketten p?virkes av gravitasjonskraften til hjemplaneten v?r, men n?r den kommer langt nok unna, vil kreftene fra planetene i solsystemet bli veldig sm? i forhold til kraften fra sola. Vi kan f? dette ut fra simulasjonen:
| ? | Sterkeste akselerasjon [AU/Y^2] | Nest sterkeste akselerasjon [AU/Y^2] |
| t = 0 Y | \(2.027 \cdot 10^{4}\), fra planet 1 | \(1.217 \cdot 10\), fra solen |
| t = 0.5Y | \(7.885\), fra solen | \(8.884 \cdot 10^{-4}\), fra planet 3 |
Vi kan se at akselerasjonen fra hjemplaneten v?r er flere st?rrelsesordener st?rre enn den nest st?rkeste, som er akselerasjonen fra sola. Etter litt tid, har sola tatt over som den sterkeste kraften, og kraften fra sola er igjen flere st?rrelsesordener st?rre enn den nest st?rste.
Vi ser at banen er ganske lik banen til planeten v?r ogs?. Rakettens bane er litt mer ellipseformet, og har sentrum litt lenger ned mot h?yre i plottet enn det planeten v?r har (merk at den fortsatt har sola i ett av brennpunktene!). Banen ser ut som planetens bane fordi raketten arver mye av planetens hastighet, og denne hastigheten er betydelig st?rre enn den hastigheten raketten har i forhold til planeten.?
Banen har annet sentrum fordi hastigheten fra oppskytningen ikke peker samme retning som hastigheten arvet fra planeten. Dersom vi hadde skutt opp fra planeten i bevegelsesretningen, slik at retningen p? rakettens hastighet i forhold til planeten og planetens hastighet i solsystemet pekte samme vei, ville vi beholdt sentrum i banen, og kun endret p? formen.
?
Selv om dette er en ganske god tiln?rming til rakettens bane, er det noen un?yaktigheter her. F?rst, interpolerer vi line?rt mellom planetposisjonene. Planetene vil egentlig bevege seg i kurvede bevegelser, som betyr at de posisjonene vi f?r ut ifra interpolasjonsmetoden v?r vil v?re litt feil. Dette betyr at kreftene som virker p? raketten fra planetene ogs? vil bli litt feil, siden disse avhenger av distanse mellom planetene og raketten. En un?yaktighet som vil p?virke resultatene v?re enda mer, er at vi har antatt at kun planetene, solen, og raketten eksisterer i rommet, men dette er feil. M?ner og andre legemer eksisterer ogs? i solsystemet v?rt, og disse vil p?virke rakettens bevegelse.
B?de feilen fra interpolasjonen og feilen fra ? ignorere de andre legemene vil v?re sm?. Vi interpolerer kun over relativt sm? distanser, der bevegelsen er tiln?rmet line?r uansett, og kreftene som virker p? raketten fra planetene (og solen) vil v?re betydelig st?rre enn de som kommer fra de andre legemene i solsystemet. Vi kan v?re ganske sikre p? at simulasjonen v?r fortsatt vil produsere brukbare resultater.
Med denne siste simulasjonen ferdig, vil vi n? planlegge hvordan vi skal gjennomf?re reisen.
Logg inn for ? kommentere